-Rotación
Esta es otra de las transformaciones que representa girar un objeto alrededor de un punto. Las ecuaciones para ejecutar la rotación son:
x’=x * cos(ángulƟ ) - y * sin(ángulƟ)
y’=x * sin(ángulƟ) + y * cos(ángulƟ)
En vez de irnos a la geometría de donde se derivan estas ecuaciones, veámoslas desde el punto de vista del usuario.
Las variables x y y del lado derecho de la ecuación representa el punto que está siendo rotado y la variable ángulo en que especifica el ángulo en que se rota el punto.
Para rotar con éxito un objeto necesitamos tomar un punto sobre el cual sea factible girar el objeto, trasladarse al origen, rotar el polígono y luego regresar a donde estaba.
-Traslación
Para llevarla a cabo se necesita de una transformación sencilla.
Básicamente una traslación define cómo se supone que debe moverse un punto de un lugar en el espacio a otro. Se especifica cómo podemos mover cada punto para que un objeto sea trasladado.
La traslación de un pixel en la pantalla se puede hacer sumando un valor apropiado a cada una de las coordenadas x y y para que se mueva un punto.
x’= x + Dx
y’=y + Dy
Para llevarla a cabo se necesita de una transformación sencilla.
Básicamente una traslación define cómo se supone que debe moverse un punto de un lugar en el espacio a otro. Se especifica cómo podemos mover cada punto para que un objeto sea trasladado.
La traslación de un pixel en la pantalla se puede hacer sumando un valor apropiado a cada una de las coordenadas x y y para que se mueva un punto.
x’= x + Dx
y’=y + Dy
-Escalamiento
Una transformación para alterar el tamaño de un objeto se denomina escalación.
Dependiendo del factor de escalación el objeto sufrirá un cambio en su tamaño pasando a ser mayor, o menor en su segmento de longitud.
El escalamiento se hace con un factor sx en el eje x y en un factor sy en el eje y.
Escalamiento uniforme sx = sy
Escalamiento diferencial.
La transformación de escalamiento puede expresarse con las siguientes multiplicaciones
En forma matricial
Se escala a ½ en el eje x y a ¼ en el eje y .
El escalamiento se efectúa con respecto al origen;
Coordenadas homogéneas y representación matricial
El uso de coordenadas homogéneas permite tratar todas las transformaciones geométricas como una multiplicación de matrices.
Las coordenadas agregan un tercer componente a las coordenadas bidimensionales.
De tal forma que, un punto (x,y) pasa a ser (x,y,W). El valor de W es generalmente 1.
Coordenadas homogéneas y representación matricial
El uso de coordenadas homogéneas permite tratar todas
las transformaciones geométricas como una multiplicación de matrices.
Las coordenadas agregan un tercer componente a las coordenadas bidimensionales. De tal forma que, un punto (x,y) pasa a ser (x,y,W). El valor de W es generalmente 1.
Representación matricial.
En el área de la graficación por computadora, es común encontrar la representación de las ecuaciones de transformación por medio de matrices, y se pueden encontrar dos tipos de notaciones para representarlas:
1.- Repesentando las coordenadas de un punto p como vectores renglón (en este caso una matriz de transformación M en 2 dimensiones, multiplica al punto por la derecha para obtener el nuevo punto p'.
p= [x1 x2], p'=[x1 x2]= p*M
2.- Representando las coordenadas de un punto p como vectores columna, en este caso una matriz de transformación M, multiplica al punto por la izquierda para obtener el nuevo punto p'.
x1 x1'
p=[ x2 ], p'=[ x2' ] =M*p
Muchas aplicaciones incluyen secuencias de transformaciones geométricas:
– Una animación requiere que los objetos se trasladen y roten en cada fotograma
– Un diseño CAD requiere muchas transformaciones hasta obtener el resultado final
• Debemos formular de forma muy eficiente toda la secuencia de transformaciones, cada transformación puede representarse como P’ = P M1+ M2
La matriz M1 contiene la información de ángulos y factores de escala
La matriz M2 contiene los términos de traslación asociados al punto fijo y al centro de rotación
Para producir una secuencia de transformaciones hay que calcular las nuevas
coordenadas en cada transformación!
P’’ = P’ M3+ M4= …= P M1M3+ M2 M3+ M4
Buscamos una solución más eficiente que permita combinar las transformaciones para
obtener directamente las coordenadas finales a partir de las iniciales
Coordenadas homogéneas
El uso de coordenadas homogéneas permite tratar todas las transformaciones geométricas como una multiplicación de matrices pues no todas las transformaciones son aplicadas a un punto como una multiplicación de factores.
-Proyección y perspectiva. Tipos de perspectiva
PROYECCIÓN
La etimología de la palabra proyección viene del latín proiectio, de proficere; de pro=delante y facere=hacer.
La acción de proyectar responde a la necesidad humana antiquísima de representar gráficamente objetos tridimensionales sobre una superficie plana bidimensional ¿Con qué fines? Principalmente dos: artístico y técnico.
La finalidad artística de las proyecciones consiste en representar objetos de una forma más o menos aproximada a como la percibe el ojo humano con fines expresivos o estéticos, para recrear ambientes y espacios naturales y artificiales. Se basa principalmente en los métodos de representación perspectivos (sistemas axonométricos, caballera y cónica)
¿Cómo se proyecta en la práctica? La proyección de un objeto se obtiene al unir las intersecciones sobre un plano de proyección de las líneas proyectantes de todos los puntos del objeto desde el vértice.Para que exista una proyección es necesario que intervengan cuatro elementos fundamentales
a) Centro de proyección
b) Rayos proyectantes
c) Objeto a proyectar
d) Plano/s de proyección
PERSPECTIVA
Arte o teoría de dibujar objetos tridimensionales en una superficie bidimensional para recrear la profundidad y la posición relativa de los objetos. Es la ilusión visual que percibe el observador, que ayuda a determinar la profundidad y ubicación entre objetos a distancias distintas. En el dibujo y otras áreas, la perspectiva simula la profundidad y los efectos de reducción dimensional y distorsión angular que se producen.
Existen cuatro tipos de perspectivas importantes que podemos manejar para expresar volumétricamente los espacios:
Perspectiva axonométrica
Perspectiva isométrica
Perspectiva caballera
Perspectiva aérea
- La perspectiva axonométrica
Se utiliza mucho para realizar los diseños previos llamados ‘a sentimiento’. Uno realiza lo que quiere a mano alzada para ver si se puede realmente desarrollar la pieza, el espacio, el lugar u objeto que se va a proyectar. Los interioristas utilizan bastante esta modalidad para dar dibujos con medidas exactas a los industriales como, carpinteros, herreros y todos los oficios de una obra.
Los ejes deben realizarse con escuadra y cartabón. Marcaremos una línea vertical, llamada eje Z y posteriormente dos líneas con un ángulo de 120º. Para realizar esta medida utilizaremos el cartabón por el vértice más estrecho, que es el de 30º. Así nos quedara el ángulo antes mencionado.
Una vez realizados los ejes de coordenadas solo nos quedará ir dibujando la pieza con las medidas dadas. Todo el dibujo se debe realizar paralelo a los ejes principales.
- La perspectiva caballera: contiene los objetos pero éstos tienen deformidades más acusadas. Teniendo los ejes principales X, Y, Z utilizaremos una reducción para su buena representación espacial. La escala que debemos reducir solo será en el eje Y, aplicando la mitad de la dimensión del objeto que hay que dibujar.
Los ejes Z, X deberán ser de 90º mientras que el eje Y puede tener diferente angulación, realizándola con la escuadra un ángulo de 45º:
Es utilizada cuando una pieza, por su complejidad, no es fácil de interpretar a través de sus vistas como, por ejemplo, la de los manuales de instrucciones de todo tipo de maquinaria.
-Perspectiva aérea: 1. Técnica que consiste en representar la profundidad o la distancia por medio de gradaciones en el color, la nitidez y los tonos de los objetos a medida que se alejan en el plano; también llamada perspectiva atmosférica, perspectiva a vista de pájaro.
-Isometrica: Una proyección isométrica es una forma de proyección gráfica, más específicamente una axonométrica, cilíndrica, ortogonal. Constituye una representación visual de un objeto tridimensional en dos dimensiones, en la que los tres ejes espaciales definen ángulos de 120º, y las dimensiones de la realidad se miden en una misma escala sobre cada uno de ellos. La isometría es una de las formas de proyección utilizadas en dibujo técnico que tiene la ventaja de permitir la representación a escala, y la desventaja de no reflejar la disminución aparente de tamaño -proporcional a la distancia- que percibe el ojo humano.
